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问题：若点 为椭圆 上的一个动点，弦 分别过焦点 ．当 垂直于 轴时，恰好有 ．
（I）求该椭圆的离心率；
（II）设 ， ，试判断 是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．
解：（I）当 C垂直于x轴时， ．
由椭圆的定义，有 ，从而 ， ．
在Rt△中，注意到 ，便得 =．
（II）由 =，得 ， ．
于是，椭圆的焦点坐标是 ，椭圆方程为 ，
化简有 ．
设 ， ．
(i)若直线 的斜率存在，则直线 方程为 ，代入椭圆方程有
．
由韦达定理，得 ，所以 ． 于是 ．同理可得 ，
故 =．
(ii)若直线 轴， ， ， ，这时有 ＝6．
综上可知： 是定值6．
经过对此题的思考和揣摩，笔者得到一个一般性的结论，此题正好也一道竞赛题：
结论1：设P为椭圆 上任意一点， 为椭圆的左右焦点，直线 与椭圆的另一个交点分别为M,N，求证:
从上面的结论受到启发，能否类比到双曲线吗？答案是肯定
结论2：设P为双曲线 上任意一点， 为双曲线的左右焦点，直线 与双曲线的另一个交点分别为M,N，求证:
解：设直线 倾斜角为 ，左焦点 到左准线的距离为 ，右焦点 到右准线的距离为 ，由双曲线的第二定义知：
当点P位于右支上时
由图可知： ；
解得：
所以
当点P位于左支上时
由图可知： ；
解得：
所以
笔者经过研究、思考将问题可以作如下变式，其结论仍然成立
变式1：已知椭圆 ， 为椭圆的焦点，过焦点 的直线 与椭圆交于M,N两点且交 轴于P点，求证:
证：不妨设 点为左焦点，即 ，设直线 的方程为
联立方程 得
设 则
同理： 点为右焦点时，此结论也成立。
如果把变式1中椭圆换成双曲线，便有变式2
变式2：已知双曲线 ， 为双曲线的焦点，过焦点 的直线 与双曲线交于M,N两点且交 轴于P点，求证:
证：不妨设 点为左焦点，即 ，设直线 的方程为
联立方程 得
设 则
通过以上的思考探究过程，笔者感悟到对于任何问题要多思、多想，多问为什么，这样数学会因思考而更加精彩，犹如从“木”到“林”再到“森”的发展过程，若思必有收获！