时间：2018-05-15
来源：附属中学
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关键词：极坐标方程；椭圆；双曲线；抛物线；焦半径
在高中数学中，我们知道椭圆、双曲线、抛物线可以统一的定义为：与一个定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数
的点的轨迹.当
时是椭圆；
时是双曲线；
时是抛物线.这时称定点为焦点，定直线为准线，常数称为离心率.
首先假设一定点
的位置位于定直线
的右侧（如图1），过点
作准线
的垂线，垂足为
，以焦点
的反向延长线
为极轴，建立极坐标系.
设
是曲线上任意一点，连接
,并
作
,垂足分别为
,
.
则由圆锥曲线的统一定义可知曲线就是集合：
.
设焦点到准线的距离
,又有
,那么
则可得：
.整理等式得圆锥曲线的方程为：
（其中
是焦点到准线的距离，称为焦准距）
以上就推导出了圆锥曲线的极坐标方程.由此可见，圆锥曲线方程由离心率和焦准距
唯一确定.由于
表示动点
到焦点的距离（称为焦半径），所以往往涉及到与焦半径或焦点弦有关的问题就可以采用极坐标的方法来解决.
从圆锥曲线极坐标方程不难发现已知极角
就可以求焦半径
，而更近一步利用极坐标的方法解决涉及焦半径、焦点弦问题可以大大减少了繁琐的步骤，起到事半功倍的效果.
例1．过抛物线
的焦点弦
的长为
，顶点为
，求
的面积.
方法一、首先采用传统的直角坐标方法求解.
解：设
.直线方程为:
,与抛物线方程联立消
得： 
.
由韦达定理可知：
（1）
（2）
而
（3）
把（1）（2）代入（3），整理得：
（4）
∴
把（1）（2）代入上式，整理得：
（5）
联立（4）（5）消
得：
.
方法二、题目已知焦点弦为,将直角坐标方程转化成极坐标方程可以更快捷的与焦点弦产生联系.
解：设极点在焦点
的抛物线
极坐标方程为
（如图2）.
设
点的极坐标为
，则
点的极坐标为
.
∴
，
.
因而
∴
即
∴
则 
.
以上分别采用直角坐标方法和极坐标方法分别求解了有关抛物线的问题.对比以上两种方法可以看出直角坐标方法求解需要引进的字母更多运算量也更大，所以极坐标方法求解可以减少演算步骤，更加快捷巧妙.
极坐标方法不仅仅可以在抛物线中有着巧妙地应用，其实由于极坐标方程适用于三大圆锥曲线，那么在椭圆及双曲线中都有非常广泛的应用.
例2．过椭圆左焦点
且倾斜角为
的直线
,交椭圆于
两点.若
,求椭圆离心率.
分析：建立极坐标系，采用极坐标方法.需要注意的是焦点在准线的左边，极坐标方程将有所不同.
解：以
为极点，
轴正方向为极轴建立极坐标系.那么椭圆极坐标方程表示为
，且
是椭圆的离心率.
设
，则
∴
（6）
（7）
（8）
联立（6）（7）（8）可得：
,解得：
即椭圆的离心率是
各种类型的圆锥曲线都可以利用建立极坐标系的方法得以求解，并且在解题过程都比较的类似，是处理圆锥曲线问题的一种难能可贵的通法.相对于在直角坐标系中处理相同的问题，极坐标方法更加的巧妙、快捷，在高中数学中独树一帜.同时极坐标方程是由统一的圆锥曲线定义推导出来的，充分体现圆锥曲线统一美、和谐美，在研究圆锥曲线共同性质上有得天独厚的优越感.
参考文献：
【1】汪良材，蔡永芳，吴在秩.平面解析几何解题思路与范例分析.福建人民出版社.1980
【2】翟连林.平面解析几何双基训练.中国农业机械出版社.1982
【3】李秀英.圆锥曲线统一极坐标方程的补充解释.教学与管理，1996：58
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