时间：2017-12-14
来源：附属中学
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本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分.
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1．已知集合
，
，那么
（ ）
A.
B.
C.
D.
1. 解析：因为集合
表示函数
的定义域，所以
，所以
.故答案应选C.
2. 如图，在复平面内，复数
和
对应的点分别是
和
，则
（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
2. 解析:由图知：复数
，所以
，故答案应选A.
3.“
”是“函数
的最小正周期为
”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3. 解析：因为
，所以函数的最小正周期
，所以函数的最小正周期为”
，所以“”是“函数的最小正周期为”的充分不必要条件.故答案应选A.
4.若
（
）的展开式中第3项的二项式系数为36，则其展开式中的常数项为( )
A．－84 B．－252 C．252 D．84
4. 解析：由题意知
，所以
.而
展开式的通项公式为
，由
得
，所以展开式中的常数项为第7项，且
.所以答案应选D.
5.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的结果为
A．5 B．6 C．7 D．8
5. 解析：不妨用①②③…表示相应的运行步骤. 则①：
不符合题意；②：
，不符合题意；③：
，
不符合题意；④
，不符合题意；⑤
，符
合题意.∴
故答案应选C.
6.设向量
满足: 
, 
, 则
与
的夹角是（ ）
6. 解析：由
得，
，所以
又
，所以
.故答案应选D.
7.某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、
俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接
球的表面积为( )
A.
B.
C.
D.
7. 解析：构造棱长为1的正方体，易知原四面体是由正方体的面对角线构成的正四面体，其外接球即为正方体的外接球.球半径
.所以球的表面积为
.故答案应选A.
8．设
满足约束条件
，则目标函数
的最小值为（ ）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
8. 解析：画出可行域，因为目标函数的几何意义为，直线的纵截距，由图易知的最小值的最优解为（0,1），所以最小值为1.故答案应选C.
9. 六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有 （ ）
A.216种 B．192种 C．288种 D.240种
9.解析：若甲排最左端，有
种排法；若乙排最左端，有
种排法，故共有216种排法.故答案应选A.
10．设
，若函数
，
，有大于
的极值点，则（ ）
A.
B.
C.
D.
10. 解析：由题知，
有大于的解而且解两侧导数异号.又因为
为增函数，所以只需
即可，所以
，所以.故答案应选C.
11. 已知双曲线
和椭圆
的离心率之积为1，则
（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
11. 解析：双曲线的离心率
；当椭圆的焦点在
轴上时，即
时，离心率
.此时由
可得
；当椭圆的焦点在
轴上时，即
时，离心率
.此时由
可得
.所以或
.故答案应选B.
12.对于三次函数
，给出定义：设
是函数
的导数，
是的导数，若方程
有实数解
，则称点
为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐
点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数
，则
( )
A. 2011 B. 2012 C. 2013 D. 2014
12. 解析：由题意知，
，
，由
，得
，
又
，所以函数
的“拐点”为
，即函数的对称中心为.
所以
令
①,
则
②. ①+②得，
，所以
.故答案应选C.
第Ⅱ卷
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）
13. 某地区有高中生2400人，初中生10900人，小学生11000人，现用分层抽样的方法从该地区中小学生中抽取243人作为样本，那么抽取的小学生的人数是 个.
13. 解析：由题意知，抽样比为
，所以抽取的小学生的人数
是
.故答案应填110.
14.
____________.
14. 解析：
.
15．等差数列
中，
，该数列前10项的和
15. 解析：由得，
，所以
.由等差数列求和公式得：
.故答案应填30.
16．将正整数排成下表：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
… … … … … … …
其中排在第
行第
列的数若记为
，例如：
，则
＝ .
16. 解析：设第
行的第一个数为
，由原题规律可得
.将以上
个式子分别相加可得：
，
所以
，所以
，即第63行第一个数为1954，
又因为第63行有63个数，且依次构成以1为公差的等差数列，所以
.故答案应填2015.
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）在
中，
、
为锐角，角
所对的边分别为
，且
（I）求
的值；
（II）若
，求的值.
17.解析：（I）∵、为锐角，
,∴ 
∵ 
,∴ 
.
（II）由（I）知
，∴ 
, 由
得
，即
,又∵ 
,,∴ 
, ∴ 
, ∴ 
.
18.(本小题满分12分)直三棱柱
中,
,点
在
上.
(Ⅰ)若
是
中点,求证:
平面
;
(Ⅱ)当
时,求平面
与平面
夹角的余弦值.
18.解析：(Ⅰ)连接
交
于点
,连接
,因为直三棱柱中侧面
为矩形,所以
为
的中点,又是中点,于是
,且
面
,
,所以平面;
(Ⅱ)由知
,即
,
又直三棱柱中
面
,于是以
为原点建立空间
直角坐标系
如右图所示,于是
, 又,由平面几何易
知
,显然平面
的一个法向量为
,又设平面
的一个法向量
为
,则由
,得
,解得
,取
,则
,设二面角
的平面角为
,则
,
又由图知
为锐角，所以其余弦值为
.
19.(本小题满分12分) 2014年仁川亚运会的志愿者中有这样一组志愿者:有几个人只通晓英语,还有几个人只通晓俄语,剩下的人只通晓法语,已知从中任抽一人恰是通晓英语的概率为
,恰是通晓俄语的人的概率为
,且通晓法语的人数不超过3人.
(Ⅰ)求这组志愿者的人数;
(Ⅱ)现从这组志愿者中选出通晓英语、俄语和法语的志愿者各1人,若甲通晓俄语,乙通晓法语,求甲和乙不全被选中的概率;
(Ⅲ)现从这组志愿者中抽取3人,求3人所会的语种数
的分布列.
19.解析：(Ⅰ)设通晓英语、俄语、法语人分别有
人,且
;
则依题意有
,即
消去
得,
,当且仅当
时,
符合正整数条件,所以
,也即这组志愿者有10人;
(Ⅱ)记事件
为“甲、乙不全被选中”,则
的对立事件
表示“甲、乙全被选中”,
于是
;
(Ⅲ
)随机变量
的可能取值为1,2,3,且由古典概型知
所以随机变量
的分布列如下:
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
.
20. （本小题满分12分）已知，在椭圆
中, 
分别为左
右焦点, 
分别为四个顶点,已知四边形
和四边形
的面积分别
为
和
.
(1)求椭圆
的标准方程;
(2)过椭圆
的右顶点
作两条互相垂直的直线分别和椭圆交于另一点
试判断直线
是否过定点,若过定点,求出该定点的坐标;若不过定点,请说明理由.
20.解析：（1）由题意知：
，所以
，所以
，所以椭圆的标准方程为： 
.
(2)由题意知，直线
与直线
的斜率均存在且不为0，设
，
,设直线的方程为：
,由
联立消去
整理可得：
，容易知
恒成立，所以
，由韦达定理得：
，所以
，代人
可得：
，所以
，设直线
的方程为：
,同理可得：
,所以直线的斜率
，所以直线的方程为：
，化简可得：
，所以当
时，直线过定点
；当
，带入
两点坐标，易得此时直线的方程为：
，显然此时直线也过定点，所以直线恒过定点.
21.（本小题满分12分）已知函数
.
（1）已知函数
的图象在点
处与
轴相切，求实数
的值.
（2）求函数
的单调区间；
（3）在（1）的结论下，对于任意的
，证明：
.
21.解析：（1）由题知：
，因为函数的图象在点处与轴相切，由导数的几何意义知：
，即
，所以
.
（2）.当
时，
，函数在
上为增函数；当
时，
，令，可得
；令
，可得
.所以函数在
上为增函数，在
上为减函数；
（3）由（1）可知，,所以
因为，不妨令
，则 
，由（2）知当
时，都有
成立，因为
，所以
，即
，
，可得
，所以
.
请考生在22、23、24题中任选一题解答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时写
清题号.
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图：已知圆上的弧
，过
点的圆的切线与
的延长线交于
点，证明：
（1）
；（2）
.
22.证明：（1）因为
,所以
.又因为
与圆相切于点
，故
,所以
.
（2）因为
，
，所以
，故
.即
.
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线
的极坐标方程为：
，曲线
的参
数方程为
(
为参数).曲线与曲线相交于、两点.
(1)求
的值；
（2）求曲线上的点到曲线的最大距离.
23.解析：(1)曲线
化为普通方程为：
；曲线的参
数方程
(
为参数).化为普通方程为：
.所以曲线
是以
为圆心，
为半径的圆，曲线
为直线.所以圆心到直线的距离为：
.所以
.
(2)由（1）知，圆
上的点到直线
的最大距离为
，即
.
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数
.
(1)求不等式
的解集；
（2）对任意
，
恒成立，求实数
的取值范围.
24.解析：（1）由
得，
，此不等式可化为：
或
或 
，解得
.
所以不等式
的解集为
.
(2)由题意知，
，因为
的几何意义为数轴上到1的距
离与到2的距离之差，易知其最大值为1.所以
，所以
，即
，所以
或
.所以实数
的取值范围是
.
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