学科动态
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分.
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的)
1.已知集合,,那么( )
A. B. C. D.
1. 解析:因为集合表示函数的定义域,所以,所以.故答案应选C.
2. 如图,在复平面内,复数和对应的点分别是和,则 ( )
A. B. C. D.
2. 解析:由图知:复数,所以,故答案应选A.
3.“”是“函数的最小正周期为”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3. 解析:因为,所以函数的最小正周期,所以函数的最小正周期为”,所以“”是“函数的最小正周期为”的充分不必要条件.故答案应选A.
4.若()的展开式中第3项的二项式系数为36,则其展开式中的常数项为( )
A.-84 B.-252 C.252 D.84
4. 解析:由题意知,所以.而展开式的通项公式为
,由得,所以展开式中的常数项为第7项,且.所以答案应选D.
5.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的结果为
A.5 B.6 C.7 D.8
5. 解析:不妨用①②③…表示相应的运行步骤. 则①:
不符合题意;②:,不符合题意;③:,
不符合题意;④,不符合题意;⑤,符
合题意.∴ 故答案应选C.
6.设向量满足: , , 则与的夹角是( )
6. 解析:由得,,所以又,所以.故答案应选D.
7.某四面体的三视图如图所示,正视图、侧视图、
俯视图都是边长为1的正方形,则此四面体的外接
球的表面积为( )
A. B. C. D.
7. 解析:构造棱长为1的正方体,易知原四面体是由正方体的面对角线构成的正四面体,其外接球即为正方体的外接球.球半径.所以球的表面积为.故答案应选A.
8.设满足约束条件,则目标函数的最小值为( )
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
8. 解析:画出可行域,因为目标函数的几何意义为,直线的纵截距,由图易知的最小值的最优解为(0,1),所以最小值为1.故答案应选C.
9. 六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有 ( )
A.216种 B.192种 C.288种 D.240种
9.解析:若甲排最左端,有种排法;若乙排最左端,有种排法,故共有216种排法.故答案应选A.
10.设,若函数,,有大于的极值点,则( )
A. B. C. D.
10. 解析:由题知, 有大于的解而且解两侧导数异号.又因为为增函数,所以只需即可,所以,所以.故答案应选C.
11. 已知双曲线和椭圆的离心率之积为1,则 ( )
A. B. C. D.
11. 解析:双曲线的离心率;当椭圆的焦点在轴上时,即时,离心率.此时由可得;当椭圆的焦点在轴上时,即时,离心率.此时由可得.所以或.故答案应选B.
12.对于三次函数,给出定义:设是函数
的导数,是的导数,若方程有实数解,则称点
为函数的“拐点”.经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐
点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.设函数
,则 ( )
A. 2011 B. 2012 C. 2013 D. 2014
12. 解析:由题意知,,,由,得,
又,所以函数的“拐点”为,即函数的对称中心为.
所以
令①,
则②. ①+②得,,所以
.故答案应选C.
第Ⅱ卷
二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)
13. 某地区有高中生2400人,初中生10900人,小学生11000人,现用分层抽样的方法从该地区中小学生中抽取243人作为样本,那么抽取的小学生的人数是 个.
13. 解析:由题意知,抽样比为,所以抽取的小学生的人数
是.故答案应填110.
14. ____________.
14. 解析:.
15.等差数列中,,该数列前10项的和
15. 解析:由得,,所以.由等差数列求和公式得:.故答案应填30.
16.将正整数排成下表:
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
… … … … … … …
其中排在第行第列的数若记为,例如:,则= .
16. 解析:设第行的第一个数为,由原题规律可得
.将以上个式子分别相加可得:,
所以,所以,即第63行第一个数为1954,
又因为第63行有63个数,且依次构成以1为公差的等差数列,所以
.故答案应填2015.
三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)在中,、为锐角,角所对的边分别为,且
(I)求的值;
(II)若,求的值.
17.解析:(I)∵、为锐角, ,∴
∵ ,∴ .
(II)由(I)知,∴ , 由得,即,又∵ ,,∴ , ∴ , ∴ .
18.(本小题满分12分)直三棱柱
中,,点在上.
(Ⅰ)若是中点,求证:平面;
(Ⅱ)当时,求平面与平面夹角的余弦值.
18.解析:(Ⅰ)连接交于点,连接,因为直三棱柱中侧面为矩形,所以为的中点,又是中点,于是,且面,,所以平面;
(Ⅱ)由知,即,
又直三棱柱中面,于是以为原点建立空间
直角坐标系如右图所示,于是, 又,由平面几何易
知,显然平面的一个法向量为,又设平面的一个法向量
为,则由,得,解得,取,则
,设二面角的平面角为,则,
又由图知为锐角,所以其余弦值为.
19.(本小题满分12分) 2014年仁川亚运会的志愿者中有这样一组志愿者:有几个人只通晓英语,还有几个人只通晓俄语,剩下的人只通晓法语,已知从中任抽一人恰是通晓英语的概率为,恰是通晓俄语的人的概率为,且通晓法语的人数不超过3人.
(Ⅰ)求这组志愿者的人数;
(Ⅱ)现从这组志愿者中选出通晓英语、俄语和法语的志愿者各1人,若甲通晓俄语,乙通晓法语,求甲和乙不全被选中的概率;
(Ⅲ)现从这组志愿者中抽取3人,求3人所会的语种数的分布列.
19.解析:(Ⅰ)设通晓英语、俄语、法语人分别有人,且;
则依题意有,即 消去得,,当且仅当
时,符合正整数条件,所以,也即这组志愿者有10人;
(Ⅱ)记事件为“甲、乙不全被选中”,则的对立事件表示“甲、乙全被选中”,
于是;
(Ⅲ)随机变量的可能取值为1,2,3,且由古典概型知
所以随机变量的分布列如下:
1 |
2 |
3 |
|
.
20. (本小题满分12分)已知,在椭圆中, 分别为左
右焦点, 分别为四个顶点,已知四边形
和四边形的面积分别
为和.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过椭圆的右顶点作两条互相垂直的直线分别和椭圆交于另一点试判断直线是否过定点,若过定点,求出该定点的坐标;若不过定点,请说明理由.
20.解析:(1)由题意知:,所以,所以,所以椭圆的标准方程为: .
(2)由题意知,直线与直线的斜率均存在且不为0,设,,设直线的方程为:,由联立消去整理可得:,容易知恒成立,所以,由韦达定理得:,所以,代人可得:,所以,设直线的方程为:,同理可得:,所以直线的斜率,所以直线的方程为:,化简可得:,所以当时,直线过定点;当,带入两点坐标,易得此时直线的方程为:,显然此时直线也过定点,所以直线恒过定点.
21.(本小题满分12分)已知函数.
(1)已知函数的图象在点处与轴相切,求实数的值.
(2)求函数的单调区间;
(3)在(1)的结论下,对于任意的,证明:.
21.解析:(1)由题知:,因为函数的图象在点处与轴相切,由导数的几何意义知:,即,所以.
(2).当时,,函数在上为增函数;当时,,令,可得;令,可得.所以函数在上为增函数,在上为减函数;
(3)由(1)可知,,所以因为,不妨令,则 ,由(2)知当时,都有成立,因为,所以,即,,可得,所以.
请考生在22、23、24题中任选一题解答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时写
清题号.
22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图:已知圆上的弧,过点的圆的切线与的延长线交于点,证明:
(1);(2).
22.证明:(1)因为,所以.又因为与圆相切于点,故,所以.
(2)因为,,所以,故.即.
23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程为:,曲线的参
数方程为(为参数).曲线与曲线相交于、两点.
(1)求的值;
(2)求曲线上的点到曲线的最大距离.
23.解析:(1)曲线化为普通方程为:;曲线的参
数方程 (为参数).化为普通方程为:.所以曲线是以为圆心,为半径的圆,曲线为直线.所以圆心到直线的距离为:.所以.
(2)由(1)知,圆上的点到直线的最大距离为,即.
24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
设函数.
(1)求不等式的解集;
(2)对任意,恒成立,求实数的取值范围.
24.解析:(1)由得,,此不等式可化为:或或 ,解得.
所以不等式的解集为.
(2)由题意知, ,因为的几何意义为数轴上到1的距
离与到2的距离之差,易知其最大值为1.所以,所以,即
,所以或.所以实数的取值范围是.
12